수직원반의 관성모멘트 구하기

종종 대학교 일반물리책을 보다보면 수직원반의 관성모멘트도

다른 도형의 관성모멘트와 함께 표에 들어있는데

다른 도형의 관성모멘트는 계산 방법이 많이 알려져 있지만 수직원반은 그렇지가 않은 것 같다.

아래에 간단한 그림과 함께 수직원반의 관성모멘트를 구해보자.

두 가지 방법으로 풀어볼 예정이다.

첫 번째 방법 - 직접 계산하기

그림1 - 수직원반의 관성모멘트 구하기. 빨간색 선이 회전축이고, 원반의 밀도는 ρ로 균일하다.

수직원반을 연속된 질량 분포를 가진 강체라고 가정하자.

미소 질량 dm이 회전축으로부터 r만큼 떨어졌을 때 관성모멘트는

가 된다.

강체 내 미소질량이 회전축으로부터 떨어진 거리를 r이라고 할 때 r을 원통좌표계에 맞게 바꿔 보자.

그림2 - 미소질량이 회전축으로부터 떨어진 거리 구하기

일단 미소질량을 zx평면 상에 놓은 다음에 y축으로 y만큼 평행이동 시킨다고 생각하면 

미소질량이 회전축으로 떨어진 거리의 일반식을 구할 수 있다.

이제부터는 단순 계산이다.

먼저 r'에 대해 적분을 해보자. 적분 구간은 0부터 R까지이다.

다음은 θ에 대한 적분이다. 적분 구간은 0부터 2π까지이다.

마지막으로 y에 대해 적분하자. 질량 중심을 포함하는 회전축이므로 -L/2부터 L/2가 적분 구간이다.

이제 원반의 부피에 관한 식을 질량으로 바꿔 표현하기만 하면 끝이다.

두 번째 방법 - 평행축정리를 이용하여 풀기

먼저 zx평면 위에 놓인 두께가 거의 없는 수직원반(2차원)의 관성모멘트를 구해보자.

그림3 - zx평면 위에 그려진 수직 원반. 빨간색 선이 회전축이고, 원반의 밀도는 ρ로 균일하다. 두께는 지극히 얇다고 생각하자.

수직원반을 연속된 질량 분포를 가진 강체라고 가정하자.

미소 질량 dm이 회전축으로부터 r만큼 떨어졌을 때 관성모멘트는

가 된다.

원반은 원형좌표계로 풀어야 계산이 편하므로 r을 그림3의 정의에 따라 표현해보면 다음과 같다.

위의 정보를 종합해보면 결국 아래 식을 얻을 수 있다.

여기서부터는 단순계산이다.

다만, 위의 결과는 두께를 무시한 결과이므로 두께를 반영한 결과(3차원)를 얻어보자.

그림4 - 평행축정리를 이용해서 수직원반(원통)의 관성모멘트 구하기

질량 중심을 통과하는 회전축이 y만큼 평행 이동한 경우의 관성모멘트는 평행축 정리에 따라

가 된다.

앞에서 회전축이 수직 원반의 질량을 지나므로 I_com= (1/4)*R^2*dM이 된다.

다만 이번에는 앞에서 구한 관성모멘트를 미소 질량의 관성모멘트로 취급할 예정이다.

그림4처럼 높이가 L인 원반(원통)을 김밥 썰듯이 나누면 각각의 관성모멘트는 아래 식으로 표현이 가능하다.

이것을 y에 대해서 (-L/2)부터 L/2까지 적분하면 두께를 가진 수직원반의 관성모멘트를 구할 수 있게 된다.

두 방법이 사실상 같다.

그래도 두 번째 방법이 좀 더 스토리가 있지 않나 생각해본다.

생각할 여지를 남겨 놓기 위해 코멘트를 자세히 하지는 않았다. 

일부 그림에 틀린 부분이 있음을 밝힌다.

그림은 파워포인트 (오피스 365 정품)으로 그렸음.

수식은 Mathtype 정품을 이용하였음.

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2017년 07월 07일 작성